OpenAIの研究者たちが、数学史上でも屈指の難しさを誇る未解決問題において、ここ数日で目覚ましい進歩を遂げたというニュースが、米国時間10月6日に飛び込んできた。OpenAIが明らかにしたもので、研究には名称が公表されていない社内の最先端の推論モデルが使われた。
生まれたばかりのLLMが挑んだ数学問題は数百件、1930年代からの難問も含む
この生まれたばかりのLLM（大規模言語モデル）は、これまで解かれていなかった数学の問題に数百件も取り組んだらしい。たとえば、1930年代に提起されたマーラー予想（Mahler conjectures。へこみのない図形〔凸体〕の体積に関する予想）や、円周率の無理数度（irrationality exponent。円周率を分数でどこまで精密に近似できるかを示す値）、計算機科学のUnique Games（ユニークゲーム）の近似（最適に近い答えをどこまで効率よく求められるかという問題）である。このほかにも、厄介な数学の問題がずらりと並ぶ。最初にその問題を探究した先駆者の名前を冠したものもあれば、量子分野への重要な応用につながる成果もある。
米高等研究所の諮問グループと協議を重ね、論文をGitHubで公開
OpenAIの広報担当者は、こうした成果を発表するにあたり、プリンストン高等研究所（IAS）に置かれた「数学と人工知能に関する諮問グループ」（Advisory Group on Mathematics and Artificial Intelligence）に相談してきたと明らかにした。成果を数学界にどう公表するのがよいか、その進め方を練るためで、証明の検証には、コンピューターで証明の正しさを確かめられるプログラミング言語「Lean」を使っているという。具体的なやり方について、OpenAIは次のように説明している。
「今回は、成果をGitHub（ソフトウェアのコードや文書を公開・共有するサービス）のリポジトリで公開し、論文の改訂と引用についての手順も設ける。委員会（前出の諮問グループ）の指針を満たす、コミュニティ運営の別の公開先も引き続き検討している。今後の公開に向けては、引用、数学的な説明、成果の示し方を改善して論文の質をさらに高め、より理解しやすいものにしていく」。
リーマン予想から数理物理学まで、AIモデルは何を解いたのか
リーマン予想をご存じだろうか。
私自身は、今年1月にこの予想について記事を書き、一部から批判を浴びるまでは知らなかった。実は、この問題を解いた人には100万ドル（約1億5800万円）の懸賞金が出る。
OpenAIのモデルが成し遂げたのは、厳密にはリーマン予想の解決ではない。「リーマンゼータ関数」について、零点（関数の値がゼロになる点）が1つもない新たな領域を示したのである。リーマン予想は、この関数の零点のうち、重要なものがすべて一本の直線の上に並ぶとする予想である。零点のない領域を新たに示しても、それだけでは予想を解いたことにはならない。
無秩序な磁性体や小さな量子スピン、磁気をめぐる問題にも切り込む
話を戻すと、OpenAIのモデルは、希釈スピングラス（diluted spin glasses）に関するメザール・パリージ公式（Mézard–Parisi formula）に関わる問題も解いた。乱れた磁性体のモデルを扱う、数理物理学の概念である。複雑なシステムや、焼きなまし（熱した金属をゆっくり冷やして内部を安定させる処理）のような、同じ手順を繰り返すプロセスの分析だと考えればよい。そう考えたければ、の話だが。
さらに、このモデルは量子ハイゼンベルク強磁性体（quantum Heisenberg ferromagnet。鉄のような磁石の性質を、量子力学に基づいて記述するモデル）の研究も手がけた。小さな量子スピン（電子などがもつ、ごく小さな磁石のような性質）を、これまでにない独特のやり方で調べたものらしい。
